Question

如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm线段AM为BC边上的中线，点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动

连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的，以点C为圆心，以CN为半径作圆C与直线BE相较于点P、Q两点。（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长
（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ=___cm
当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ=___cm
拜托写好点加分速度~~~~~~~

Answer 1

（1）解：120；

（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）

（3）解：①当点D在线段AM上（不与点A重合）时（图1），

由（2）可知△ACD≌△BCE，
则∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于点H，
则PQ=2HQ，连接CQ，则CQ=5．
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，则CH=
1
2
BC=4．

在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ=
CQ2-CH2
=

52-42
=3，

则PQ=2HQ=6
②当点D在线段AM的延长线上时（图2），
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CEB=∠CDA=30°
同理可得：PQ=6．
③当点D在线段MA的延长线上时（图3），
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
综上所述，PQ的长是6．

Answer 2

边看题目边写的
可容易知道的程度，BC=8，CM=4，CN=5
在MA上，
连接CP,CQ,半径是5,垂足是F,
过C做PQ垂线，得直角三角形CBF,角CBF=角CBE=角CAD=30度，所以CF=1/2BC=4
在三角形CPQ中，很容易得PQ=6
在延长线上，
在草稿上继续画图，感觉和第一问是一样的=6，因为30度的角没有变