Question

一道高中数学经典题

悬赏分：90| 奇迹之引导者 |2009-07-15
圆C1：（x+3)²+(y-1)²=4
圆C2：(x-4)²+(y-5)²=4
设P为平面上的点，满足：存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别于圆C1和C2相交，且直线l1被C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P坐标

Answer 1

设点P坐标为(m,n)，直线磨亩l1、l2的方程分别为：饥搭

y-n=k(x-m)，y-n=-1/烂游拿k(x-m)

即kx-y+n-km=0，-x/k-y+n+m/k=0

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等

由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等

∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)

化简，得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5

关于x的方程有无穷多解，有：2-m-n=0，m-n-3=0或m-n+8=0，m+n-5=0

解得：点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2）

Answer 2

设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

y-n=k(x-m)，y-n=-1/k(x-m)

即kx-y+n-km=0，-x/k-y+n+m/k=0

因为直线l1被圆C1截得的饥搭弦长与直线l2被圆烂游拿C2截得的弦长相等，两圆半径相等

由垂径定理，得：圆磨亩心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等

∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)

得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5

2-m-n=0，m-n-3=0或m-n+8=0，m+n-5=0

点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2）

Answer 3

解：根据题意，点P为以C1C2为斜边的等腰直角三角形吵橘的顶点
C1(-3,1),C2(4,5),|C1C2|^2=65,C1C2的中点M(0.5,3)
k(C1C2)=4/银悉7,k(PM)=-7/4,|PM|=|C1C2|/2
解得
点P坐标为(-3/2,13/2)或升搏团(5/2,-1/2）