Question

如何计算差商？

Answer 1

差商是指在拉格朗日插值公式中各项系数的计算。对于给定的函数f(x)，我们可以通过差商公式递归地计算所有的差商数值，以得到拉格朗日插值多项式。
差商的公式如下：
f[x0] = f(x0)
f[x0, x1] = (f[x1] -f[x0])/(x1 - x0)
f[x0, x1, x2] = (f[x1, x2] -f[x0, x1])/(x2 - x0)
f[x0, x1, x2, ... , xn] = (f[x1, x2, ... , xn] - f[x0, x1, x2, ..., xn-1])/(xn - x0)
对于f(x) = 1/x，我们可以选择任意给定的x0, x1, x2, ..., xn，并递归地计算每个差商的数值。假设我们选取x0=1, x1=2, x2=3, ..., xn=n，那么：
f[1] = 1/1 = 1
f[2] = 1/2
f[3] = 1/3
...
f[n] = 1/n
然后，我们开始计算更高阶的差商：
f[1,2] = (f[2] - f[1])/(2-1) = (1/2 - 1)/1/2 = -1/2
f[1,2,3] = (f[2,3] - f[1,2])/(3-1) = ((1/3 - 1/2)/1/3 + 1/2)/2 = 1/3
f[1,2,3,4] = (f[2,3,4] - f[1,2,3])/(4-1) = ((1/4 - 1/3)/1/4 - 1/3)/3 = -1/8
...
以此类推，可以计算出所有的差商f[1,2,...,n]的数值。
因此，f[1,2,...,n]的结果如下：
f[1,2,...,n] = (-1)^(n-1) / n!