Question

高等代数多项式系数小问题

判断正误
任意实数a，f(a)都是实数，则f的系数都是实数
任意有理数a，f(a)都是有理数，则f的系数都是有理数
这个是选择题，应该只有一个对

Answer 1

应该是都正确的，运用拉格朗日插值公式很容易证明。

假设是N次多项式f(x)，只要知道(N+1)个不同的x值对应的y值(x0,y0,x1,y1,...,xn,yn)，就可以用拉格朗日插值公式（可以查百度百科）来完全的复原f(x)的表达式，不了解的可以去仔细查这个方法。

用拉格朗日插值公式的话，问题就很简单了，因为你可以通过（N+1）个点，完美地复原多项式的所有系数。

判定实数性和有理数性也不难，因为是实数集和有理数集对于加减乘除运算都是封闭集。

对于N次多项式，别说任意实数（任意有理数）成立，只要有（N+1）个不同的实数（有理数）成立，就完全足够证明了。

附带参考资料，那个百度网页的图里，有拉格朗日插值公式的表达式。

Answer 2

想了半天也觉得都是对的，因为自变量任意实数a和任意有理数，限制了通过不同项相互抵消的可能。所以系数也必须是实数或者有理数

Answer 3

若f=(e^(ja)-e^(-ja))/(2j)则稀疏不为实数，因而觉得第二个是对的

追问

ja是什么 这是多项式函数诶

追答

有j代表的意思是虚数。ja的意思是j*a，可以说a是j的虚部。
能给我看一下完整的题目么？