Question

求解这道高数题怎么做？

设有一质量为 m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力位R=CV（其中C为常数，V为物体运动的速度），失球物体下落距离 S 与时间 t 的函数关系。

Answer 1

根据F=ma得mg-Cv=mdv/dt
化简得v'=g-Cv/m (1)
解得v=Amg/C+Be^(-Ct/m),A为任意正常数，B为任意常数。
由于当t=0时，v=0.所以Amg/C+B=0即B=-Amg/C.
所以v=Amg/C-Amg/C*e^(-Ct/m) (2)
v'=Ag*e^(-Ct/m) (3)
将(2)(3)代入(1)得Ag*e^(-Ct/m) =g+(-Ag+Ag*e^(-Ct/m))
所以A=1,故v=mg/C-mg/C*e^(-Ct/m) ,
因而S=∫(0,t)vdt=∫(0,t)[mg/C-mg/C*e^(-Ct/m)]dt
=m^2g/C^2*e^(-Ct/m)+mgt/C-m^2g/C^2
物体下落距离 S 与时间 t 的函数关系即为
S=m^2g/C^2*e^(-Ct/m)+mgt/C-m^2g/C^2