Question

二重积分 极坐标 角度的范围怎么定？在线等！

比如 ∫∫(x-y)dxdy D： (x-1)²+(y-1)²≤2 x≤y
画出来是一个 圆心为(1,1) 半径为√2 的圆。
如果用极坐标做，那么θ的范围怎么定？

把它改成 u=x-1 v=x-1 则
∫∫(x-y)dxdy=∫∫(u-v)dudv 画出来是一个 圆心为(0,0) 半径为√2 的圆。

这里的θ的范围怎么定？
0≤r≤√2 θ的范围呢？

另外 不是可以把这个圆看作是四个1/4圆来计算吗？

Answer 1

极坐标，θ的变化都是从原点位置开始扫起的

圆心(1，1)，半径√2

圆心到原点所在的直线是y = x，于是该圆在原点的切线为y = - x

画图观看这切线与圆的变化，便知道θ由- π/4变化到3π/4

所以θ∈[- π/4，3π/4]

这个圆不是关于原点对称的，所以不能用1/4圆来算

追问

答案给的 θ∈[ π/4，3π/4]
另外我做一个变量替换 不就可以让圆点移到圆心吗
就像我做的u和v

追答

你那个答案也没错的。
这圆心可是关于y = x对称，所以变化范围可由[- π/4，3π/4]变为[π/4，3π/4]，不过积分要变为2倍，就是1/2圆
而你那个变换，倒要把图画出来比较好算的，你那个看似用雅可比行列式变换的，但是圆形区域不太适合

Answer 2

一、一般分3种情况：

1. 原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2pi；

2.原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止；

3.原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。

二、方法：

1、将积分区域，分成一个个单连通区域；

2、所谓的单连通区域，就是任何极半径，     最多只能穿透一次、再触及区域曲线；

3、每一个单连通区域，都具有两根切线；

4、对每一个单连通区域，积分时的角度，     按顺时针方向，从第一根切线的角度，     积分到第二根曲线的角度；

5、整体的积分，就是对每个单连通区域的积分，     然后求和，得到最后结果；

6、角度必须是弧度制。

Answer 3

一般分3种情况：
1.原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2pi;
2.原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止
3.原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。
可以参考这个解释：http://zhidao.baidu.com/question/507046672.html?qbl=relate_question_0&word=%B6%FE%D6%D8%BB%FD%B7%D6%20%BC%AB%D7%F8%B1%EA%20%BD%C7%B6%C8%B5%C4%B7%B6%CE%A7%D4%F5%C3%B4%B6%A8%3F%D4%DA%CF%DF%B5%C8%21

Answer 4

①本题的积分区域是在y=x左上方的那半个圆。
②把(x-1)²+(y-1)²=2表示成x=1+√2 cosθ，y=1+√2 sinθ，来算出点（0，0）处的θ值：
在点（0，0）处，x=y=0，得到cosθ=sinθ，得到θ=∏/4与θ=3∏/4。
③如果是圆心为(0，0) 半径为√2 的圆，θ的范围就是0到2∏。
④关于“把这个圆看作是四个1/4圆来计算”的问题，不仅是积分区域要具有对称性，还
需要被积函数相对于积分区域具有对称性，而本题的被积函数x-y在那半个圆域上不是对称的。

Answer 5

参考百度文库

二重积分与极坐标下的二重积分

ppt格式的那篇

追问

这是数2 09年的19题