Question

数学。。。急急急 已知函数f(x)=ax-1-lnx(a属于R) 当a属于R时，讨论函数f(

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a属于R)
① 当a属于R时，讨论函数f(x)在定义域的极点个数
②若函数f(x)在x=1处取得极直，对全部x属于（0.正无穷），f(x)大于等于bx-2衡成立，求实数的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=a-1/x=(ax-1)/x
当a≤0时，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点
当a＞0时，f'（x）≤0得 0＜x≤1/a
f''（x）≥0得x≥1/a
∴f（x）在（0，1/a]上递减，在[1/a，+∞）上递增，即f（x）在x=1/a处有极小值
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2⇔1+1/x-Inx/x≥b
令g（x）=1+1/x-Inx/x
则g′（x）=-1/x^2-(1-Inx)/x^2=-1/x^2(2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e2，由g′（x）≤0得，0＜x≤e2，
∴g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增
∴g(x)min=g(e2)=1-1/e^2

即b≤1-1/e^2


Answer 2

1，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-1/x ．
①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数 在（0，+∞）单调递减，
所以 在（0，+∞）上没有极值点；
②当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1/a ，f′（x）＜0得x＜1/a ．f′（x）=0得x=1/a ．
所以在（0，1/a ）上递减，在（1/a ，+∞）上递增，即在x=1/a ．处有极小值．
2，函数f(x)在x=1处取得极值，则有a=1
即 f(x)=x-1-lnx≥bx-2恒成立
（1-b）x+1≥lnx
问题转化为直线在函数lnx图象的上方，已知直线（1-b）x+1过点（0，-1），
只有保证直线过（1，0）即可满足题设要求，显然有直线的斜率 1-b≥1
所以b≤0

Answer 3

1. 解：f'(x)=a-1/x     x>0

   所以当a<=0时，f'(x)<0,函数没有极值点

   当x>0时，令f‘（x)=0,得x=1/a  此时 函数的极值点只有一个

2. 解：由1中可知，a=1

   因为f(x)>=bx-2恒成立，所以有：

   b<=[(x+1-lnx)/x]min

   设函数g(x)=(x+1-lnx)/x                   ,令g'(x)=(lnx-2)/x^2=0，得x=e^2

   所以实数b的取值范围是b<=1-e^(-2),谢谢！