Question

观察方程x+2/X=3,X+6/x=5.x+12/X=7利用规律求x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4的根

Answer 1

观察分析方程及它们的根的情况
x+2/x=3，x+1*2/x=3，解为：1，2
x+6/x=5，x+2*3/x=5，解为：2，3
x+12/x=7，x+3*4/x=7，解为：3，4

而x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4
(x-3)+(n^2+n)/(x-3)=2n+1
令t=x-3,x=t+3
t+(n^2+n)/t=2n+1
t+n(n+1)/t=2n+1
由上述的观察分析可知，该方程的解为：t1=n，t2=n+1

所以x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4的根为：
x1=n+3,x2=n+4

Answer 2

x+2/X=3,的解为1,2，X+6/x=5.的解为2,3，x+12/X=7的解为3,4
x+(n^2+n)/(x-3)=2n+4
令t=x-3,则上式等价于t+(n²+n)t=2n+1,根据上面的规律可知，其解为t=n，t=n+1
所以原方程的解为x=n+3,n+4

Answer 3

x(x-3)-(2n+4)(x-3)+n^2+n=0
整理得
x^2-(2n+7)x+n^2+7n+12=0
x^2-[(n+3)+(n+4)]x+(n+3)(n+4)=0
x1=n+3,x2=n+4