Question

设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则(A)当f(a)f(b)<0时,存在ξ属于(a,b)时,使f(ξ)=0

B.对任何ξ属于（a,b）,有 x趋向于ξ,lim[f(x)-f(ξ)]=0
C.存在ξ属于（a,b）使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
D.当f(a)=f(b)时，存在ξ属于（a,b），使f'(ξ)=0
我怎么觉得全是对的呢，请一一解答麻烦了！

Answer 1

解：
A
∵f(x)在[a,b]上有定义，且在(a,b)内可导，即在（a,b）内连续，
∴lim(x→a+) f(x)存在，同理，lim(x→b-) f(x)存在
∴f(x)在[a,b]内连续
根据零点定理，这样的ξ必定存在，所以A正确
B
∵f(x)在[a,b]内连续，

∴根据连续定义，B正确
C
根据拉格朗日中值定理，正确

D
根据罗尔定理，正确

Answer 2

只是B是对的，最大的疑惑应该是C，你去看看拉格朗日中值定理（仔细看），你可以想象有一个函数，在（a,b)连续且可导，但a，b两点是离开函数的，也就是在（a,b)连续图像外，这样可以符合题目意思，但却不符合拉格朗日定理，它要求是[a,b]是连续的。

Answer 3

B是对的
根据题目的意思 a点和b点的函数的取值可以任意取，和区间内函数的取值等可以没有任何一点联系！

Answer 4

选B吧，其他考虑在a，b两点不连续的情况。

追问

f(x)在(a,b)上不是有定义了吗，不就连续了吗?

Answer 5

好像是都对