Question

请问limf(x)=0是lim| f(x)|=0的什么条件？

Answer 1

关系如下：

如果lim f(x)=0，根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<f(x)<0+e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,|f(x)|<e,即0-e<|f(x)|<0+e,由定义，lim |f(x)|=0. 因此，limf(x)=0 ==> lim|f(x)|=0, 逆反命题为lim|f(x)|不等于0，则limf(x)不等于0，原命题获证。

反过来，如果lim |f(x)|=0，则根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<|f(x)|<0+e，即|f(x)|<e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,-e<f(x)<e.因此limf(x)=0.所以，limf(x)=0是lim|f(x)|=0的充要条件。

如果是其他数值则不一定。比如lim|f(x)|=3,则limf(x)可能是3或-3,甚至可能不存在（比如数列-3,3,-3,3,-3,3,....)。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。