"f(x)在其定义域内恒有f'(x)>0,则f(x)在其定义域内单调递增"是否正确
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正确。严格证明要用到拉格朗日中值定理。
设f(x)的定义域为D,对任意的x1,x2∈D,x1<x2,
f(x)在D上连续并可导，故f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)上可导。
所以存在ξ∈(x1,x2),使得f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2)
又因为f(x)在其定义域D内恒有f'(x)>0,
故f'(ξ)>0,从而f(x1)-f(x2)<0.
所以f(x)在其定义域D内单调递增。
设f(x)的定义域为D,对任意的x1,x2∈D,x1<x2,
f(x)在D上连续并可导，故f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)上可导。
所以存在ξ∈(x1,x2),使得f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x1-x2)
又因为f(x)在其定义域D内恒有f'(x)>0,
故f'(ξ)>0,从而f(x1)-f(x2)<0.
所以f(x)在其定义域D内单调递增。
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