Question

求两道简单高数题

要求有过程，能够简单易于理解

Answer 1

题目1：求函数$f(x) = x^3-3x$的导数并求出其在$x=2$处的导数值。
解题过程：

首先算出函数的导数$f'(x)$，根据导数的定义：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
将函数$f(x) = x^3-3x$带入上式，有：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3-3(x+\Delta x)-(x^3-3x)}{\Delta x}$
化简上式，可以得到：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3\Delta x}{\Delta x}$
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2-3)$
将$\Delta x$约去，得到导数：
$f'(x) = 3x^2-3$
求出$f'(2)$的值，带入导数公式中，有：
$f'(2) = 3\cdot 2^2 - 3 = 9$
因此，函数$f(x) = x^3-3x$在$x=2$处的导数值为$9$。
题目2：计算$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx$。
解题过程：
首先将被积函数化简，可以发现$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\frac{2x+1}{x^2+2x+1}=\frac{2x+1}{(x+1)^2}$
再将分母中的$(x+1)^2$分解为$(x+1)(x+1)$，可得到：
$\frac{2x+1}{(x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}$
其中$A$和$B$为待定系数。
通分并整理可以得到：
$2x+1 = A(x+1) + B$
当$x=-1$时，上式变为$-1 = B$，所以$B=-1$。
将$B=-1$代入上式，再令$x=0$，则可以解出$A=3$。
回代到原式中，得到：
$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx = \int_1^2 \frac{3}{x+1}dx - \int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2}dx$
对第一个积分进行变量代换，令$u=x+1$，则有：
$\int_1^2 \frac{3}{x+1}dx = \int_2^3 \frac{3}{u}du = 3\ln u \Big|_2^3 = 3\ln3 - 3\ln2$
对第二个积分进行求解，利用反函数求导法，得到：
$\int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2}dx = -\frac{1}{x+1} \Big|_1^2 = \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
将第6、7步得到的结果相减，得到最终结果：
$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx = 3\ln3 - 3\ln2 + \frac{1}{2}$

Answer 2

（5）
你好！这是一个关于概率分布的问题，我可以帮你解答。
题目给出$X$服从泊松分布，并且 $P(X=1)=P(X=2)$。
对于泊松分布来说，期望值和方差都等于参数 $\lambda$。
因此，我们可以先求出参数 $\lambda$。
由于 $P(X=1)=P(X=2)$，根据泊松分布的概率密度函数，有：
$$\frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}$$
化简可得：
$$\lambda=2$$
接下来，根据泊松分布的公式：
$$D(X)=\lambda=2$$
因此，答案是 $D(X)=2$。
希望能够帮到你，有其他问题也可以继续提问哦！