Question

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0,f(1)

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
①对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0,f(1)=1；
②若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
若对于任意x属于[0，1]，总有4[f（x）]^2-4（2-a）f（x）+5-4a＞=0成立，求实数a的取值范围。急！！！

Answer 1

解：（1）对于条件③，令x1=x2=0，得f（0）≤0．
又由条件①知f（0）≥0，∴f（0）=0．
（2）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1]，
∴f（x2）-f（x1）=f（（x2-x1）+x1）-f（x1）≥f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）≥0，
即f（x2）≥f（x1）．
故f（x）在[0，1]上是单调递增的，
从而f（x）的最大值是f（1）=1．
（3）∵f（x）在x∈[0，1]上是增函数，
∴f（x）∈[0，1]．
又∵4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，
∴4f2（x）-8f（x）+5≥4a[1-f（x）]．
当f（x）≠1时，a≤
4f2(x)-8f(x)+5
4[1-f(x)]
．
令y=
4f2(x)-8f(x)+5
4[1-f(x)]
=
4[1-f(x)]2+1
4[1-f(x)]
=1-f（x）+
1
4[1-f(x)]
≥1，
∴a≤1．
当f（x）=1时，4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a=4-4（2-a）+5-4a=4-8+4a+5-4a=1≥0恒成立，
∴a≤1．

Answer 2

设f（x)=t,然后将下面的不等式化为关于t的二次方程，根据已知条件写出现在的t的取值范围，令g(x)=4t²-4（2-a)t+5-4a,再对其进行分类讨论就可以了。

追问

如何分类讨论？

Answer 3

首先你可以证明f（x）最大值为1，最小值0，然后你把你的那个式子配方，讨论a

Answer 4

我数学很差