Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为根号下5/5. (1)求椭圆的标准方程 (2)，若直线

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为根号下5/5.
(1)求椭圆的标准方程
(2)，若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M，N两点，且MN的绝对值等于16/9倍的根号下5，求直线l的方程

Answer 1

解：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，那么b=4/2=2，离心率e，半焦距c，所以
e=c/a，c²=a²-b²，解得a=根号5，所以
椭圆的方程为x²/5+y²/4=1
2.椭圆的做焦点为（-1,0），设直线为y=kx+b，得到0=-k+b，所以k=b，所以直线l为y=kx+k。
设M为（x1,y1），N为（x2,y2）即M（x1,kx1+k），N（x2,kx2+k），
联立x²/5+y²/4=1，y=kx+k，消去y得到
（4+5k²）x²+10k²x+5k²-20=0，所以x1+x2=-10k²/（4+5k²），x1x2=（5k²-20）/（4+5k²），所以
IMNI=根号[（x1-x2）²+（y1-y2）²]=根号{（1+k²）[（x1+x2）²-4x1x2]}=根号{（k²+1）[（-10k²/（4+5k²））²-4*（5k²-20）/（4+5k²）]}=15根号5/9，化简得到[（1+k²/（4+5k²）]²=4/81，所以
（1+k²/（4+5k²）=2/9，得到k²=1，k=±1，所以直线了的方程为
y=kx+1，或y=-x-1

Answer 2

解：由题设，椭圆的标准方程为：x²/a²+y²/b²=1
因为，2b=4,
e=c/a=根号5/5
所以，b=2
,
令：
c=k,
则，a=(根号5)k
(k≠0)
所以，c²=k²
a²=5k²
因为，
a²=b²+c²
所以，5k²=2²+k²
所以，k²=1
所以，所求的椭圆标准方程为：x²/5+y²/4=1