Question

已知：如图，在三角形ABC中, 角BAC=90 ,AB=3,AC=4,点D是边AC上的一个动点

已知：如图，在三角形ABC中, 角BAC=90 ,AB=3,AC=4,点D是边AC上的一个动点（不与A、C重合），且角DBE=角ABC,AB·BE=BC·BD。联结DE、EC。
（1）求证：角BDE=90°
（2）若AD=1，求CE的长
（3）设AD=x，S三角形DCE=y，求y关于x的函数关系式和定义域。

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Answer 1

根据AB BE=BD BC 可知AB/BD=BC/BE 又 角ABC=角DBC 则△ABC与△DBC相似

则角BDC=角BAC=90°

AD=1 AB=3 ∠BAD=90° 则BD=根下10 ∠BAC=90° 则BC=5

AB/BD=BC/BE 变形 AB/BC=BD/BE

又因为∠ABC=∠DBE 所以∠ABD=∠CBE

则△ABD与△CBE相似 ，∠BAD=∠BCE=90°

由AB/BC=CE/AD CE=5/3AD=5/3

按角分

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

Answer 2

根据AB BE=BD BC 可知AB/BD=BC/BE 又 角ABC=角DBC 则△ABC与△DBC相似
则角BDC=角BAC=90°

2 AD=1 AB=3 ∠BAD=90° 则BD=根下10 ∠BAC=90° 则BC=5
AB/BD=BC/BE 变形 AB/BC=BD/BE
又因为∠ABC=∠DBE 所以∠ABD=∠CBE
则△ABD与△CBE相似 ，∠BAD=∠BCE=90°
由AB/BC=CE/AD CE=5/3AD=5/3

3过E做EF⊥DC延长线于F，DC=4-x ∠FCE+∠ACB=90°，∠ABC+∠ACB=90°
则∠FCE=∠ABC CE/BC=EF/AC CE=5/3AD=5/3x EF=4x/3
则S△DCE=1/2DC EF=1/2 (4-X) 4X/3=2x（4-x）/3 X∈（0,4）

Answer 3

1. AB*BE=BC*BD,所以AB/BC=BD/BE
又因为角DBE=角ABC，所以三角形ABC相似于三角形BDE 所以BDE=90°

Answer 4