【探究题】已知x的4次方+x的3次方+x的平方+x+1=0,求1+x+x的平方+至x的2009次方的值
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已知x⁴+x³+x²+x+1=0,求1+x+x²+x³+x⁴+........+x²⁰⁰⁹的值
解：∵x⁴+x³+x²+x+1=0
∴1+x+x²+x³+x⁴+........+x²⁰⁰⁹=(1+x+x²+x³+x⁴)+x⁵(1+x+x²+x³+x⁴)+x¹⁰(1+x+x²+x³+x⁴)+
+x¹⁵(1+x+x²+x³+x⁴)+x²⁰(1+x+x²+x³+x⁴)+..........+x²⁰⁰⁵(1+x+x²+x³+x⁴)=0
解：∵x⁴+x³+x²+x+1=0
∴1+x+x²+x³+x⁴+........+x²⁰⁰⁹=(1+x+x²+x³+x⁴)+x⁵(1+x+x²+x³+x⁴)+x¹⁰(1+x+x²+x³+x⁴)+
+x¹⁵(1+x+x²+x³+x⁴)+x²⁰(1+x+x²+x³+x⁴)+..........+x²⁰⁰⁵(1+x+x²+x³+x⁴)=0
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