Question

为什么f(x)=1/2x的原函数是F(x)?

Answer 1

总结：是偶(奇)函数，即连续奇(偶)函数的一个原函数为偶(奇)函数。

设f(x)是连续函数，F(X)是f(x)的原函数，则：

(A)当f(x)是奇函数时，F(X)必为偶函数。

(B)当f(x)是偶函数时，F(X)必为奇函数。

(C)当f(x)是周期函数时，F(X)必为周期函数。

(D)当f(x)是单调增函数时，F(X)必为单调增函数。

若函数y=f(t),t=g(x)的奇偶性不同，则其复合函数y=f(g(x))必为偶函数;若奇偶性相同，则其复合函数y=f(g(x))的奇偶性与外层函数有相同的奇偶性。

积分学中的奇偶函数的原函数奇偶性：

(奇函数}'=偶函数 例如 (x³)’=3x²。

(偶函数)'=奇函数 例如 (x²)'=2x。

∫奇函数=偶函数 例如∫xdx=½x²+c。

∫偶函数≠奇函数 例如∫x²dx=(1/3)x³+c。

（注：若积分限0到x,则等号成立 例如∫x²dx=(1/3)x³）。