Question

arccosx=π/2+ arcsinx吗？

Answer 1

不正确。
首先，我们知道反余弦函数（arccosine）和反正弦函数（arcsine）的定义域和值域分别为：
- 反余弦函数 arccosx：定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]（即 0 到 π 之间的非负角）。
- 反正弦函数 arcsinx：定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]（即 -π/2 到 π/2 之间的角）。
现在来看等式 arccosx = π/2 + arcsinx：
如果我们令 x = 1，那么 arccos(1) = 0（因为 cos(0) = 1），而 arcsin(1) = π/2。此时等式变为：
0 = π/2 + π/2
这显然是错误的，因为左边是 0，右边是 π，它们是不相等的。
因此，等式 arccosx = π/2 + arcsinx 是不正确的。这两个函数在某些特定的取值下有可能相等，但在一般情况下，它们是不等的。

Answer 2

(arccosx)'=-(arcsinx)'
f(x)=arccosx+arcsinx
f'(x)=(arccosx)'+(arcsinx)'=0
即f(x)恒为常数
实际上
arccosx+arcsinx=π/2
因为
sin(arcsinx)=x
sin(π/2-arccosx)=cos(arccosx)=x
所以sin(arcsinx)=sin(π/2-arccosx)
同时取arcsin有，arcsinx=π/2-arccosx，这就是两者之间的关系。