Question

如图,已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系

（1）求直线BD的函数解析式。
（2）直线BD上是否存在点M（不包括点B），使△AMC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）设直线BD的函数关系式为y=kx+b，

因为AB=AC=4，BD是AC边上的中线，

所以点B、D坐标分别为（0，4）（2，0）代入：y=kx+b，

得：y=-2x+4；

（2）存在点M，使AM=AC，

①点M和点B重合，所以点M为（0，4）；

②点M和点B不重合，

如图，连接AM，过M作MN⊥y轴于点N．

令点M的坐标为（a，-2a+4），

AM=√[a²+(-2a+4)²]

AM=AC

∴√[a²+(-2a+4)²]=4

解：a1=0，a2=16/5

∴点M1、M2为（0，4）、（16/5，12/5）

综上可知点M的坐标为M1（0，4）、M2（16/5，12/5）

Answer 2

解：（1）∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴点B坐标为（0，4），点D坐标为（2，0），
设直线BD的函数解析式为：y=kx+b，
则2k+b=0b=4​，
解得：k=-2b=4​，
故直线BD的函数关系式为y=-2x+4；

（2）延长BD至P使BD=DP，连接AP、CP，则四边形ABCP为平行四边形．
由题意得，AD=DC，
又∵BD=DP，
∴四边形ABCP是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）∵ABCP是平行四边形，
∴CP∥.AB，
故可得点P的纵坐标为-4，代入直线BD解析式可得点P的横坐标为4，
即可得点P的坐标为（4，-4）．