Question

已知椭圆x²/2 +y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M,N两点，求弦MN中点的轨迹方程

Answer 1

2解：（法一）设过P(2,1)点的直线为y-1=k(x-2)
联立x²/2 +y²=1 ①
y-1=k(x-2) ②
②代入 ①得
x² +2（k(x-2) +1 ）²=2
化简得 (1+ 2k²) x² +4k(1-2k)x+8²-8=0
设A（x1,y1）B（x2,y2）
x1+x2=-4k(1-2k)/ (1+ 2k²)=4
解得k=-1所以直线为y-1=-(x-2)
即x+y-3=0
（法二）设A（x1,y1）B（x2,y2）
则有 x1²/2 +y1²=1 ①
x2²/2 +y2²=1 =3 ②
①-②得：
（x1²-x2² ）/2= -(y1²-y2²)
（x1 -x2 ）（x1+x2）/2=-（y 1 - y 2 ）（y 1+ y 2）
-（x1+x2）/2（y 1+ y 2）=（y 1 - y 2 ）/（x1 -x2 ）=k
因为P(2,1)为中点，则
x1+x2=4
y 1+ y 2=2
所以k=-1所以直线为y-1=-(x-2)
即x+y-3=0

Answer 2

假设M点坐标为(x1,y1), N点坐标为(x2, y2)，中点坐标为(x0, y0)

于是有x1²/2 +y1²=1以及x2²/2 +y2²=1
两式相减得到，(x1-x2)(x1+x2)/2=-(y1-y2)(y1+y2)
因为x1+x2=2x0, y1+y2=2y0, 斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
另一方面，因为过点A，所以k=(y0-1)/(x0-2)
所以-x0/2y0=k=(y0-1)/(x0-2)
整理，得到(y-1/2)^2+(1/2)*(x-1)^2=3/4
需要验证斜率为无穷即垂直x轴的情况。