Question

求数学公式——三角恒等变换的记忆方法

公式很多很复杂，老师在讲的时候没有认真听，现在不知道怎么记忆…

Answer 1

1．三角恒等变换的两个原则 (1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式． (2)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异． 2．三角函数式的化简 (1)化简的要求： ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路： 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法． (3)化简的方法： 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等． 4．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法： 观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等． (2)证明三角条件等式的方法： 首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等． 答案：B 2．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 解析：∵f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x. ∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x. 答案：C 答案：A 答案：A 答案：B 解后反思：要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值． 解后反思：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 方法技巧 1．三角函数式的化简要注意角的变换、三角函数名称的变换、三角式幂次的变换、三角式结构的变换四个方面为解题切入点进行整体分析． 2．三角式的求值与三角恒等式的证明要注意待求角和已知角之间的关系，实现待求角向已知角的转化往往是解题的关键所在． 失误防范 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及到“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解． * 3．进行三角化简的几种解题思路
(1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．
(2)函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，等号左右两边的函数名称的差异，化异名为同名．
(3)常数的变换：常用方式：1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin等．
(4)次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用．
(5)结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等．
考点精练
1.·＝(　　)
A．tanα　　　　B．tan2α　　　　C．1　　　　D.
解析：y＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin.
所以T＝π.
解析：原式＝2tanα·＝＝tan2α.
解析：∵β∈，且sinβ＝＜，∴0＜β＜.
cosβ＝＝ ＝，
∴tanβ＝，∴tan2β＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.
(1)当0＜α＜时，∵0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
(2)∵tanα＝＞0，且α∈(－π，0)，
∴－π＜α＜－.又0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴－π＜α＋2β＜－，故α＋2β＝－.
3．化简：＋＝(　　)
A. B．cosθ C. D．sin2θ
解析：原式＝
＋＝
＋＝＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
两边同除以sinα，得－2cos(α＋β)＝.
4．函数y＝sin2x＋cos2x－的最小正周期等于(　　)
A．π B．2π C. D.
5．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα等于(　　)
A．± B. C．± D.
解析：(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，而α∈，sinα＋cosα＝sin＞0，
所以sinα＋cosα＝.
题型一　　三角函数式的化简例1 (1)已知f(α)＝2tanα－，求f；
(2)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求的值．
解析：(1)f(α)＝2tanα－＝＋＝，
∴f()＝＝8.
(2)原式＝＝.
又tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－，或tanθ＝.
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ＝－.
故原式＝＝3＋2.
题型二　　三角函数式的求值例2 已知sinβ＝，tanα＝，求满足下列条件的α＋2β的值．
(1)α∈，β∈；
(2)α∈(－π，0)，β∈.
解后反思：①本例说明了确定角的范围的重要性，虽然tan(α＋2β)＝1，但角的范围不同，故所求角不同．②选择求函数值的方法(设所求角为x)：a.当x∈(0，π)时，应求cosx或tanx的值；b.当x∈(，π)时，应求tanx或sinx的值；c.当x∈(π，2π)时，应求tanx或cosx的值；d.当x∈(－，)时，应求tanx或sinx的值．
题型三　　三角恒等式的证明例3 求证：－2cos(α＋β)＝.
随堂反馈
1．已知函数f(θ)＝－＋(0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
(2)若a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．
解析：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，
得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
∴cosθ＝，∴－1＜＜1，即－3＜a＜1.
解析：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.
又由3sin2α－2sin2β＝0，得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜α＋2β＜270°.
故α＋2β＝90°.
3．求证：＝sin2α.
证明：方法一：
左边＝＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法三：左边＝＝cos2α·
＝cos2α·tanα＝cosαsinα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．