Question

已知二次函数y=x²-kx+k+4的图像与y轴交于点C,

且与X轴的正半轴交于A,B两点，（点A在点B左侧）,若A,B两 点的横坐标为整数。（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是（0,6），点P(T,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S,求与S与T的函数关系式。

Answer 1

分析：（1）令y=0，不难得出方程的△＞0；关键是方程的整数根，整除和奇偶性问题．根据（k-2+m）（k-2-m）=20得出k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的两数是解题的关键．
（由于k-2+m+k-2-m=2k-4，因此两数的和为偶数，而偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，因此两数必须为同奇同偶）（本题也可用韦达定理来求）
（2）∵四边形PBCD不一定是规则的四边形∴可用三角形OBC的面积-三角形ODP的面积来求．

解：（1）依题意可设A（a，0），B（b，0）；
令y=0，则a、b是x^2-kx+k+4=0的两根．
于是△=(-k)^2-4(k+4)=k^2-4k-16=(k-2)^2-20＞0，且a+b=k；
∵a、b是不等的正整数，
∴k为正整数，且(k-2)^2-20是一个整数的平方．
设(k-2)^2-m^2=20，即（k-2+m）（k-2-m）=20，
注意到k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的两数，且20是偶数．
∴k-2+m=10 , k-2-m=2 ；
k-2+m=-2 , k-2-m=-10 ；
k-2+m=2 , k-2-m=10 ；
k-2+m=-10 , k-2-m=-2 ；
解得：
k=8 , m=4 ；
k=-4 , m=4 ；
k=8 , m=-4 ；
k=-4 , m=-4 ；
∴k=8，
∴这个二次函数的解析式为y=x^2-8x+12，其顶点坐标为（4，-4）．

（2）∵y=x^2-8x+12，
∴此二次函数的图形与y轴的交点C的坐标为（0，12），与y轴的交点A（2，0），B（6，0）．
又S四边形PBCD=S△COB-S△DOP，
∴S=1/2 ×12×6-1/2 ×6t，
∴S=36-3t（2≤t＜6）
故函数关系式为：S=36-3t（2≤t＜6）

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