Question

高数 收敛发散怎么判断呢 详解哦

Answer 1

您好！证明这一级数发散之前，先说一下思路。我们可以把分母上的ln(n)^p与n比较大小。它是n的对数的幂函数，容易看出，当n充分大时, (ln n)^p小于 e的ln n次方，即n本身。所以，接下来只要找到一个整数a，使得n>a时总有 (ln n)^p < n，即易证从这一项开始的无穷和发散，进而证明原级数发散。

现在证明，这一级数对于任意实数p都是发散的。

(i)如果p>=2, 对于所有n>e^(p^2), 有ln n>p^2>=4>e
易用微分法证明函数y=x^(1/x) (x>0)在x=e处有最大值,在(e, +∞)单调递减。
所以 (ln n)^(1/ ln n) < (p^2)^(1/p^2)= (p^(1/p)) ^ (2/p) < (e^(1/e)) ^(2/p) = e^(2/ep)< e^(1/p)
不等式最两边同时取pln n次方，得 (ln n)^p< n
所以1/(ln n)^p >1/n
原式= ∑1/(ln n)^p (n从2到∞)
>∑1/(ln n)^p (n从[e^(p^2)]+1到∞)
>∑1/n (n从[e^(p^2)]+1到∞)
其中[a]表示不大于a的最大整数。由于∑1/n是调和级数，是发散的，所以原式的级数发散。

(ii)如果p<2, 原式> ∑1/(ln n)^p (n从3到∞) > ∑1/(ln n)^2 (n从3到∞)
由(i)中所证，可得∑1/(ln n)^2 (n从3到∞)发散。所以原式发散。

综上所述，原式发散。
希望对您有帮助。