在梯形ABCD中∠A+∠B=90°AB‖CD,M,N分别为AB,CD的中点, 求证MN=1/2(AB-CD)
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证明:过点C分别作AD,BC的平行线,交AB于E,F,则:∠NEM=∠A;∠NFM=∠B.
∴∠NEM+∠NFM=∠A+∠B=90°,则∠ENF=90°.
又∵AB∥CD.
∴四边形ADNE和四边形BCNF均为平行四边形,AE=DN;BF=CN.
∵DN=CN;AM=BM.
∴AE=BF.故AM-AE=BM-BF,即EM=FM.
∴,MN=(1/2)EF.(直角三角形斜边中线等斜边的一半)
即MN=(1/2)[AB-(AE+BF)]=(1/2)[AB-(DN+CN)]=(1/2)(AB-CD).
∴∠NEM+∠NFM=∠A+∠B=90°,则∠ENF=90°.
又∵AB∥CD.
∴四边形ADNE和四边形BCNF均为平行四边形,AE=DN;BF=CN.
∵DN=CN;AM=BM.
∴AE=BF.故AM-AE=BM-BF,即EM=FM.
∴,MN=(1/2)EF.(直角三角形斜边中线等斜边的一半)
即MN=(1/2)[AB-(AE+BF)]=(1/2)[AB-(DN+CN)]=(1/2)(AB-CD).
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