Question

x平方+x+1的和的平方分之一的不定积分

Answer 1

解题过程如下：

原式=∫x√（1+x^2）dx

=1/2*∫（1+x^2）^（1/2）d（1+x^2）

=1/2*（2/3）（1+x^2）^（3/2）+C

=1/3*（1+x^2）^（3/2）+C

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

Answer 2

见图

Answer 3

这里有递推公式的，方法特殊：
∫1/(x^2+x+1)dx (先用分部积分）
=x/(x^2+x+1)-∫x(-2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx
=x/(x^2+x+1)-∫x(-2x-1)/(x^2+x+1)^2 dx
=x/(x^2+x+1)+2∫1/(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(2x+1)/(x^2+x+1)^2dx-(3/2)∫1/(x^2+x+1)^2dx
所以：∫1/(x^2+x+1)^2dx
=(2/3)x/(x^2+x+1)+(2/3)∫1/(x^2+x+1)dx+(1/3)/(x^2+x+1)
=(1/3)(2x+1)/(x^2+x+1)+(2/3)∫1/((x+1/2)^2+3/4)dx
=(1/3)(2x+1)/(x^2+x+1)+(4/(3√3))arctan(2x+1)/√3+C

Answer 4

原式=∫ dx/[ (x+1/2)^2+3/4]^2
=∫ d(x+1/2)/{(3/4)[ 2(x+1/2)/√3]^2+1}^2
=(4/3)(√3/2)∫ d[2(x+1/2)/ √3]/{[ 2(x+1/2)/√3]^2+1}^2
设2(x+1/2)/√3为u,
原式=(2/√3)∫ du/(1+u^2)^2
设u=tant,du=(sect)^2dt,
t=arctanu,
cost=1/√(1+u^2),
sint=u/√(1+u^2),
原式=(2/√3)∫ (sect)^2dt/(sect)^4
=(2/√3)∫ (cos)^2dt
=(1/√3)∫ (1+cos2t)dt
=√3t/3+(√3/6)sin2t+C
=(√3/3)arctanu+(√3/3)*[u/√(1+u^2)][1/√(1+u^2)]+C
=(√3/3)arctan[(2x+1)/√3]+[(√3/3)(2x+1)/√3]/[1+(2x+1)^2/3]+C
=(√3/3)arctan[(2x+1)/√3]+(3/4)(2x+1)/(x^2+x+1)+C.

Answer 5

∫1/(x^2+x+1)^2*dx=∫1/((x+1/2)^2+3/4)^2*dx
=16/9*∫1/(4/3*(x+1/2)^2+1)^2*dx
=16/9*∫1/((√3/3*(2x+1))^2+1)^2*dx
令√3/3*(2x+1)=tany, 则2√3/3*dx=secy^2*dy, dx=√3/2*secy^2*dy,
原式=16/9*∫1/(1+tany^2)^2*√3/2*secy^2*dy=8√3/9*∫1/( secy^2)^2*secy^2*dy
=8√3/9*∫1/( secy^2)*dy
=8√3/9*∫cosy^2*dy
=8√3/9*∫1/2*(cos2y+1)*dy
=4√3/9*∫(cos2y+1)*dy
=4√3/9*(1/2*sin2y+y) +常数
=2√3/9*sin2y+4√3/9*y) +常数
= 2√3/9*sin[2*arctan(√3/3*(2x+1))]+ 4√3/9* arctan(√3/3*(2x+1)) +常数