Question

考研数学一：定积分知识问题

2012年考研数学一中的第十题：定积分问题，一直不明白答案中的换元是怎么想出来的？为什么要那么换，这个式子有什么特征？具有什么特征的式子要这么换元？谢谢，希望大家帮忙。谢谢

Answer 1

基本思路就是“积分”：

在d之前的函数，放到d后面就是积分，目的就是“对应”

“对应”是运用积分公式的核心，可惜，很多教师在此都掉以轻心。

下图给出20例，如果楼主有疑问，或有问题要讨论，欢迎Hi我。

点击放大、荧屏放大再放大：

Answer 2

查了2012年考研数学一中的第十题，不知道你的问题究竟是什么？现看看这题：
∫(0,2)x√(2x-x^2)dx （如果直接求原函数，有点麻烦，变形得：)
=∫(0,2)x√(1-(x-1)^2)dx (令x-1=t,变成对称区间）
=∫(-1,1)(t+1)√(1-t^2)dt (t√(1-t^2)是奇函数）
=∫(0,1)√(1-t^2)dt （这是公式了）

追问

我的意思就是你怎么想到令x=t+1这个换元的？ 什么样的积分应用可以应用这种换元，上升到一种规律，这思路比较清晰。

追答

看来是这题了
1.在根号里面是ax^2+bx+c的，一般像解二次方程一样，前面化成a(x+b/2a)^2.就令x+b/2a=u
这样就把根号里面变成u^2±A^2,或者A^2-u^2，便于用公式
2.本题还有就是令x-1=t,变成对称区间

Answer 3

晕，别人都不知道你问什么，怎么帮你回答呢？考研也不是这样的吧，问题描述不清楚。

追问

我的意思是答案中应用的换元法：我不知道答案为什么要那样换元：令x=t+1，是怎么想到要这样换元的？提升到一个规律，一个类型讲述更好

追答

换元法是凑的一种啊。有些不可以凑，具体的，一般的书本上都有详细的描述，看一下就知道了