Question

证明，设函数f(x)在(x0,+∞)内二阶可导，且limx->x0 f(x)=0,limx->+∞ f(x)=0,

证明，设函数f(x)在(x0,+∞)内二阶可导，且limx->x0 f(x)=0,limx->+∞ f(x)=0,则在区间(x0,+∞)内至少有一点c,使得f''(c)=0（注意是二阶导）。最好用反证法。

Answer 1

　 补充定义： f(x0)=0，则函数f(x)在[x0,+∞)内连续，由于limx->x0 =limx->+∞ f(x)=0，故函数f(x)在(x0,+∞)内某点a取得极值。于是f'(a)=0。
　 由泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(ξ)(x-a)^2/2=f(a)+f''(ξ)(x-a)^2/2
　 如果所有的f''(ξ) ≠0，那么limx->+∞ f(x)=limx->+∞(f(a)+f''(ξ)(x-a)^2/2)=∞,与已知矛盾。
　　故在区间(x0,+∞)内至少有一点c,使得f''(c)=0。

追问

那么limx->+∞ f(x)=limx->+∞(f(a)+f''(ξ)(x-a)^2/2)=∞
如果limx->+∞ f''(ξ)存在，你这只是证明了limx->+∞ f''(ξ)=0,而不是[x0,+∞)内部
况且在limx->+∞ f''(ξ)存不存在也未知

追答

我仔细想了，用反证法证明的，没错的。这里与limx->+∞ f''(ξ)=0无关。
如果所有的f''(ξ) ≠0，那么limx->+∞ f(x)=limx->+∞(f(a)+f''(ξ)(x-a)^2/2)=∞,(这里所有的f''(ξ) ≠0，f''(ξ)(x-a)^2/2趋于∞）与已知limx->+∞ f(x)=0矛盾。这个矛盾是假设所有的f''(ξ) ≠0造成的。

追问

f''(ξ)(x-a)^2/2趋于∞首先要保证limx->+∞ f''(ξ)是存在的或者limx->+∞ f''(ξ)=∞

你对两边取极限，首先要保证等式两边都能取到

Answer 2

假设在区间(x0,+∞)内不存在至少一点c
那么，在区间(x0,+∞)内，对于任意x, f"(x)>0总是成立；要么f"(x)<0总是成立
所以：f'(x)为单调函数
如果，f'(x)为单调增函数
那么，对于任意x1,x2, 当x0<x1<x2
则：x0+△x<x1+△x, 其中△x>0
则：f(x0+△x)<f(x1+△x)
lim(△x->0) f(x0+△x)< lim(△x->0) f(x1+△x)
f(x1)>0
而：x1<x2<x2+△x
所以：f(x1)<lim(△x->+∞) f(x2+△x)
f(x1)<0
矛盾
所以：f'(x)不是单调增函数
同理可证f'(x)不是单调减函数
所以，在区间(x0,+∞)内不存在至少一点c的假设不成立
所以：在区间(x0,+∞)内至少有一点c,使得f''(c)=0

追问

然后呢，怎么推导,能不能给出详细过程
f'(x)为单调增函数，不代表f'(x)>0,以及f(x)为单调增函数,也就不能推出
则：f(x0+△x)<f(x1+△x) 这一步不对吧