Question

数学难题求解

加拿大math league的思考题，我知道答案，不过根本没法入手，不知有没有大神能解决了它。

有这样一个性质，在所有的正整数中只有两个拥有。这个性质是，能被分解成若干个正整数的立方数（1、8、27、64……）的和，而且最少（注意是最少）能被分解成九个（只能是九个，八个十个都不行）。一个数是23（23=8+8+1+1+1+1+1+1+1）
1）求另一个数
2）证明，除个这两个数之外，其他正整数都不符合这个性质。

(需要第一问答案直接问我就好)
加拿大math league的思考题，我知道答案，不过根本没法入手，不知有没有大神能解决了它。

有这样一个性质，在所有的正整数中只有两个拥有。这个性质是，能被分解成若干个正整数的立方数（1、8、27、64……）的和，而且最少（注意是最少）能被分解成九个（只能是九个，八个十个都不行）。一个数是23（23=8+8+1+1+1+1+1+1+1）
1）求另一个数
2）证明，除个这两个数之外，其他正整数都不符合这个性质。
3）证明，所有的正整数分成若干完全立方数的和，最少分成n个，那么n最大为9

(需要第一问答案直接问我就好)

Answer 1

补充说明：设任意正整数x,并有n^3<x<(n+1)^3，
则有满足最少分解项，应先取最大的立方数，n^3,
有x=n^3+余项
1<=(余项=x-n^3)<(n+1)^3-n^3=(n+1)^2+n(n+1)+n^2=3n^2+3n+1
然后设想，当n=1时，1^3<x<2^3
　　　　　　　　 x分解数最多为7
　　　　　当n=2时，2^3<x<3^3
x=2^3+余项
余项1<=x<19，x不断增大，观察只有23=2^3+2^3+1+1+1+1+1+1+1符合。
可见2^3<23<3^3
余项=23-2^3=15
2^3<15<3^3
余项=15-2^3=7
1^3<7<2^3
余项=7-1=6
不断重复下去，得到结果。
同法试验当n=3时，3^3<x<4^3
42=27+27+1+1+1+1+1+1+1
49=27+8+8+1+1+1+1+1+1
都符合，与题目“有这样一个性质，在所有的正整数中只有两个拥有。”矛盾，不知问题出在哪?
我觉得是不是应该还有限制条件？　　　　　

追问

不符合的
42=8+8+8+8+8+1+1
49=8+8+8+8+8+8+1

追答

我用最笨的方法，挨个试，到这个觉得符合条件。
239＝125+27+27+27+8+8+8+8+1
　　＝64+64+27+27+27+27+1+1+1
虽然可看出最少分解数的形式并不唯一，但仍没能发现规律所在。
因为要求的是最少能分解到9个，所以考察每一个数，只要能将它分解成1个到8个之间，即排除掉，而不必去计较这些不满足条件的数究竟最少能分解几个数。这样节省了时间。
比如238这个数，5^3<238<6^3
可以分解成125+27+27+27+8+8+8+8，这是8个分解数，所以排除掉。
比如216这个数，可以分解成1个数6^3=216,
而再添7个1，直到223,都能得到小于9的分解数。所以直接排除。

Answer 2

另一个数是239，我查文献查来的。

骚年，这题目实在有点太难了吧，这是个1912年才被数学家们（德国人Wieferich）证明的命题。

18世纪的数论（拉格朗日，勒让德等），就已经非常深奥了。我举一个和本题类似的命题（18世纪被证明），著名的拉格朗日四平方数定理（任何正整数都能表示成不超过4个平方数之和），这个证明的复杂度感觉就已经很够大家喝一壶的了。

1912年才被证明的命题，我感觉这题目肯定是超过知友的数论水平了。你要是懂英语的，可以出查查文献，关于“华林问题”（Waring's problem），希望能让你对这个问题的复杂度有所认识。

华林问题，就是说对于任意正整数k，都存在一个和k有关的唯一正整数g(k)，保证所有正整数都能表示为不超过g(k)个k次方数的和。拉格朗日（1770年）证明了g(2)=4，然后Wieferich（1912年）证明了g(3)=9，Balasubramanian（1986年）证明了g(4)=19，陈景润（1964年）证明了g(5)=37（惊现中国数学大牛！）， Pillai（1940年）证明了g(6)=73。

Answer 3

还有一个数应该是30
比如说：61=27+27+7个1（这样是满足能被分解成9个）
但是61也可以等于61=7个8+5个1.那么就有12个数了，而不是只能分解成9个
我觉得应该从最小的8入手。
只有1个8时：16=8+8个1（这样能满足9个数，但是同时8个1=2^3）所以不对。
有2个8时，23=8+8+7个1（满足至少9个）而且不能再少了
有3个8时，30=8+8+8+6个1（满足至少9个），而且不能再少了（因为3*8=24<27)
有4个8时，因为4*8=32>27所以不会再成立。
我觉得入手点就是是否8的和超过3^3.
我也不知道对不对了，感觉是这样

追问

可是30=27+1+1+1
你在满足8的同时，没有满足27呀

而且问题不是只能分解成九个，是至少九个。23可以分成23个1

追答

诶呀，忽略了，再想想

Answer 4

楼主，这题坑爹呐。。 更一般的问题 （Waring's problem）是否对于任何一个自然数k，存在一个和k有关的自然数g(k)使得，所有正整数可以表示成至多g(k)个k次方和。有猜想：
g(k) = 2^k + [(3/2)^k] − 2 (欧拉的儿子猜的。。)
回到你的问题 已经证明g(3)=9
也就是说，任何一个自然数一定可以分解成至多9个立方和。Dickson(1939)证明了 除了23,239 ，其它所有自然数一定可以表示成至多8个3次方和，还有人证明，对于充分大的自然数，它一定能表示成至多7个3次方和。附上Dickson的证明：http://www.ams.org/journals/bull/1939-45-08/S0002-9904-1939-07041-9/S0002-9904-1939-07041-9.pdf
PS：这个证明并不巧妙，利用了许多穷举的结果（靠电脑帮忙）。好像也没人给出什么简单巧妙的证明啊。你说你这题是不是很坑爹啊

Answer 5

分析：任意一个正整数n分解成正整数立方数的和，为方便叙述，这些正整数立方数的个数我们称之为分解数，显然分解数最大为n，因为n=1^3+1^3+...+1^3(n个)；至于最小分解数和n有关，比如：27=3^3，所以27最小分解为1，以此类推，28最小分解数为2，29最小分解数为3，30最小分解数为4，31最小分解数为5，32最小分解数为6，33为7，34为8，23为9，61为9，79为9，113最小分解数为为10[113=4^3+3^3+2^3+2^3+1+...+1(6个1)]，114最小分解数为11[114=4^3+3^3+2^3+2^3+1+...+1(7个1)]。由以上分析可知该命题为伪命题。

追问

你这什么歪理呀，谁说一定要有离那个数最近的啦。伪命题老子闲的没事发上来？
32=8+8+8+8
33=8+8+8+8+1
34=8+8+8+8+1+1
61=27+8+8+8+8+1+1
79=27+27+8+8+8+1
113=64+8+8+8+8+8+8+1
114=27+27+27+8+8+8+8+1