Question

如何用二重积分极坐标法算∫e^(- x^2) dxdy?

Answer 1

用二重积分极坐标法算∫e^(-x^2)dx，可以通过计算二重积分：∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy。

那个D表示是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域。

下面计算这个二重积分:

在极坐标系中，闭区域D可表示为：0≤r≤a,0≤θ≤2π 。

∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ；

=∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ ；

=-(1/2)e^(-a^2)∫dθ ；

=π(1-e^(-a^2)) 。

下面计算∫e^(-x^2)dx ; 

设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}。

D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}。

S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}。

可以画出D1，D2，S的图。

显然D1包含于S包含于D2。由于e^(-x^2-y^2)>0，从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式：∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy。

扩展资料：

二重积分与定积分关系含义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。