Question

将函数f(x)=ln(1+x^2)展开成x的幂级数

将函数f(x)=ln(1+x^2)展开成x的幂级数

Answer 1

f=ln(1+x^2)
f'=2x/(1+x^2)
f''=2[(1+x^2)-2x^2]/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2
f"'=2[-2x(1+x^2)^2-2(1-x^2)(2x)]/(1+x^2)^4=-4x[(1+x^2)^2+2(1-x^2)]/(1+x^2)^4
=-4x[x^4+2x^2+1-2x^2+2]/(1+x^2)^4=-(12x+4x^5)/(1+x^2)^4
f""=-[(12+20x^4)(1+x^2)^4-4(12x+4x^5)(1+x^2)^3]/(1+x^2)^8
=-[(3+5x^4)(1+x^2)-4x(3+x^4)](1+x^2)^3/(1+x^2)^8
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=2
f'''(0)=0
f''''(0)=-3
f(x)=x^2-x^4/8+......
由于f(x)为偶函数，不含奇次项。

追问

最终答案是f(x)=x^2-x^4/8么？

追答

后面还得加上："+......"

Answer 2

不知道