Question

设数列{an}的前n项和为sn,a1=1,an=sn/n+2（n-1）,(n∈N*)

①求数列{an}的通项公式an
②是否存在正整数n使得s1/1+s2/2+.....sn/n-(n-1)^2=2011，若存在，求出值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
①
n≥2时，an=Sn/n +2(n-1)
Sn=nan -2n(n-1)
S(n-1)=(n-1)an-2(n-1)(n-2)
Sn-S(n-1)=an=nan-2n(n-1)-(n-1)an+2(n-1)(n-2)
an-a(n-1)=4，为定值。
又a1=1，数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列。
an=1+4(n-1)=4n-3
数列{an}的通项公式为an=4n-3。
②
Sn/n=an -2(n-1)=4n-3-2(n-1)=2n-1
S1/1 +S2/2+...+Sn/n -(n-1)²
=2(1+2+...+n) -n -(n-1)²
=2n(n+1)/2 -n -(n-1)²
=2n-1
令2n-1=2011
2n=2012
n=1006
即存在n满足题意，当n=1006时，等式成立。

Answer 2

用a[n]表示第n项
1)a[n]=S[n]/n+2(n-1)
S[n]=na[n]-2n(n-1)
S[n-1]=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2)
当n≥2时两式相减:a[n]=S[n]-S[n-1]=na[n]-(n-1)a[n-1]-4(n-1)
整理可得:a[n]-a[n-1]=4
{a[n]}是以a[1]=1,d=4的等差数列
于是:a[n]=1+4(n-1)=4n-3
S[n]=n(a[1]+a[n])/2=2n^2-n.

2)S[n]/n=2n-1,S1/1=1,{S[n]/n}是等差数列，首项为1，公差为2
S[1]+S[2]/2+…+S[n]/n-(n-1)^2=（1+2n-1)n/2-(n-1)^2=n^2-(n-1)^2=2n-1=2011
∴n=1006