Question

绝对值的运算

Answer 1

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“| |”来表示。

1、非负性：无论原始数是正数、零还是负数，它的绝对值始终是非负数，不小于零。

2、保持相等：一个数和它的相反数（相反数为将原数取负号）具有相同的绝对值。即，若a是任意实数，则|a| = |-a|。

3、移除符号：绝对值运算可以将一个数的符号移除，只保留其大小。例如，|2| = 2，|-5| = 5。

4、三角不等式：对于任意两个实数a和b，绝对值的三角不等式成立，即|a + b| ≤ |a| + |b|。这表示两个数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加的结果。

5、并不是可微函数：绝对值函数在零点处不可导，因为它在该点左右的导数方向不相同。但是绝对值函数在零点外的大部分区间内都是连续可导的。

绝对值不等式的解法：

1、几何意义法：例如，求不等式|x|＜1的解集，不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

2、讨论法：例如，求不等式|x|＜1的解集，①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，所以0≤x＜1。②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，所以-1＜x＜0。综上所述，不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

3、平方法例如：求不等式|x|＜1的解集，把原不等式的两边平方可以得到：x2＜1，即x2-1＜0，即（x+1）（x-1）＜0，即-1＜x小于1，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。