Question

线性方程组解的判定

Answer 1

线性方程组解的判定如下：

1、齐次线性方程组

（1）有唯一解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。

（2）有无穷多解：当方程组的系数矩阵的解小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解。

（3）只有零解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数，并且解等于方程组的个数时，方程组只有零解。

2、非齐次线性方程组

（1）有唯一解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。

（2）无解：当方程组的系数矩阵的解小于方程组的未知数个数时，方程组无解。

（3）有无穷多解：当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数，并且解小于方程组的个数时，方程组有无穷多解。

3、判定方法

（1）判定齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的方法是通过计算系数矩阵的解和方程组的未知数个数之间的关系。

（2）若解等于未知数个数，则方程组有唯一解；若解小于未知数个数，则方程组有无穷多解；若解等于方程组的个数，则方程组只有零解。

线性方程组的解法：

1、矩阵法

将线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵与未知数矩阵的乘积等于常数矩阵。然后通过矩阵的运算，如行列式、逆矩阵等，得到未知数矩阵的值。

2、克拉默法则

对于n个变量的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于0，那么方程组有唯一解。使用克拉默法则可以求出每个未知数的值。

3、矩阵的初等行变换

将系数矩阵通过初等行变换转化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，然后通过回代法求解未知数的值。