Question

高数 微分方程 求大神解答~！！！

求y''-2y'+5y=(e^x)sin2x 的通解~
特征方程 r^2+2r+5=0. 得r=1+2i或 1-2i.
这里入=1 明显不等于特征方程的根啊！！！
参考答案 突然有 入=1+2i 是特征方程的单根~
然后就设 的特解 是xe^x(a*cos2x+b*sin2x) 竟然不是 x^k (ax+b)e^入*x类型的。。。

费解啊！！ 今天刚学到 常系数非齐次线性微分方程，
看一下参考资料就蒙了~~~~

Answer 1

第一：你把特征方程写错了哦
第二：特征方程的根可以是复数的
第三：根据特征根改写为a+ib的形式，则有特解形式为xe^ax(c1*cosbx+c2*sinbx)；其中在e^ax前添加x是因为非齐次项含有e^x
建议你再看看特征方程相关的资料哦

追问

1.加减号 打的时候打错了~
2.由特征方程得出的解 是含有复数 ，我知道可以是复数。
3.这个我也知道， 你说的这个是 齐次的通解， 这题是一个非齐次的。 你的这个通解只能与非齐次的特解相加 得到答案所需要的 非齐次通解。 我现在就是卡在求 非齐次的特解。

追答

如果你知道特征值可以是复数的话，那么就应该懂得Pk(x)*(a*exp(入1*x)+b*exp(入2*x))与
Pk(x)*e^ax(c1*cos2x+c2*sin2x)是没有本质区别的,其中Pk(x)是指x的k次多项式。所给的答案中取将exp(2ix)与exp(-2ix)用cos2x以及sin2x代替了而已，而取k=1，也是结合非齐次项为exp(x)形式所决定的。外加两个边值或者初值条件就可以定出特解了。

Answer 2

咋不是特征根了
根据你解得的
齐次的通解是
y=e^x(C1sin2x+C2cos2x)
右边含在齐次特解里

追问

你好，
1,.y''-2y'+5y=(e^x)sin2x 特征方程根是 1正负2i， 这个式子的 入=1， 1怎么就等于1+2i 呢？ 所以
入怎么可能是 特征单根？
2.其次的通解是 我知道是 y=e^x(C1sin2x+C2cos2x) ，这个是最后用来和非齐次的特解相加得到非齐次的通解的。

3.参考书上设特解为 xe^x(a*cos2x+b*sin2x)。

我的教科书上 没有这种特解的设法~ 目前只学到一种 设为: x^k(ax+b)e^（入*x）,其中k为为特征方程含 入 根的数。

追答

晕菜啊，你的特征根不是1±2i吗？
对应的通解就是y=e^x(C1sin2x+C2cos2x)
复数根不可以单独出现的，它的通解也是成双成对出现的。不能把它拆开来看

追问

我晕你啊！ 答非所问你。。
特征根是1±2 通解是 y=e^x(C1sin2x+C2cos2x)。

这个我都知道啊啊啊啊！！！！！！！！！！！！！！！

y''-2y'+5y=(e^x)sin2x

看题， 特征根是1±2， 这题的 “入” 从等号右边的e^xsin2x得到 入=1.

所以！ 入=1 不是 特征方程的根~~~~~~

追答

唉，无语，不和你聊了。你凭什么得到特征根是1？

追问

你没看我教材~~ 你不知道是什么方法。。
因为 题目等号右边是f（x）=Pm（x）*e^(入*x)型的。(其中Pm（x）=(e^x)sin2x，入=1)

特征方程的根 是我算出来的 是1正负2i， 由于 入=1 不与特征方程的根相等！所以设非齐次特解的式子就不一样！ 我没说 1是特征根！~~
算了算了 上课我问老师去~~~ 想死我。。。

Answer 3

看自由项，因对应第二种，这里是α=1,β=2