Question

如图，抛物线y=0.5x²-x+a与x轴交于点A,B,与y交于点C，其顶点在直线y=-2x上。⑴求a的值⑵求A,B的坐标

⑶以AC,BC为一组邻边作平行四边形ACBD ，则点D关于x轴的对称点Dˊ，是否在该抛物线上？并说明理由

Answer 1

1，根据二次函数顶点坐标（-b/2a,(4ac-b*2)/4a),解得a=-3/2,

2,令y=0，得  x*2-2x-3=0，解得x=3或x=-1.

3，

如图，A(-1，0),B(3，0),C(0，-1.5),因为平行四边形ABCD,所以D（1,1.5），D'（-1,1.5）

当x=-1时，代入y=0.5x*2-x-1.5得y=0，所以D‘不在抛物线上。

Answer 2

（1）显然抛物线的对称轴为x=1
因顶点在直线y=-2x上
则顶点为直线y=-2x与对称轴的交点
易知顶点坐标为(1,-2)
将其代入抛物线方程得a=-3/2

（2）易知抛物线方程为y=1/2x^2-x-3/2
令1/2x^2-x-3/2=0
解得x=-1或x=3
所以A坐标为(-1,0)，B坐标为(3,0)

（3）易知C坐标为(0,-3/2)
由斜率公式有
kac=-3/2，kbc=1/2
因ACBD为平行四边形
则kbd=kac，kad=kbc
由点斜式有
AD：y=1/2(x+1)
BD：y=-3/2(x-3)
联立解得D坐标为(2,3/2)
由中点坐标公式易知对称点D‘坐标为(2,-3/2)
显然该坐标满足抛物线方程
即表明D‘在抛物线上

Answer 3

解：（1）抛物线的对称轴是x=-(-1)/(2*0.5)=1，顶点在对称轴上，又在直线y=-2x上，所以，将x=1代入可得1.5-1+a=-2，a=-1.5。抛物线方程为y=0.5x²-x-1.5。
（2）在抛物线方程中令y=0，得x1=-1，x2=3。即A(-1，0)，B(3，0)。
（3）在抛物线方程中令x=0，得y=-1.5，即C(0，-1.5)。由于ACBD为平行四边形，AB为对角线，O为原点，CO⊥AB，AO=1，CO=1.5，及平行四边形的对称性可知D(2，1.5)，关于x轴对称的点D'(2，-1.5)也与C点关于抛物线的对称轴对称，所以，D'点在该抛物线上。

Answer 4

y=0.5(x^2-2x+1)+a-0.5=0.5(x-1)^2+a-0.5

顶点坐标是(1,a-0.5),又顶点在y=-2x上，则有a-0.5=-2*1, a=-1.5
y=0.5x^2-x-1.5=0.5(x^2-2x-3)=0.5(x-3)(x+1)=0
x1=-1,x2=3
得到A坐标是（-1，0），B坐标是（3，0）
令X=0，得到Y=-3/2，故C坐标是（0，-3/2）
AB的中点坐标是（1，0），则有BD的中点也是（1，0）
设D坐标是(m,n),那么有m+0=2*1,n-3/2=0,即D坐标是（2，3/2）
D关于X轴的对称点坐标是D‘（2，-3/2）
当X=2时，Y=0。5*4-2-1。5=-3/2
故D’在抛物线上。

Answer 5

解：由题意可知顶点的横坐标x=1,纵坐标y=-2,代入抛物线方程得a=-1.5,解得A、B两点的坐标
分别为（-1,0）、(3,0),C的坐标为（0,-1.5）AB的中点（1,0）所以D(2,1.5),D'(2,-1.5)代入满足抛物线方程，所以D‘在抛物线上