Question

如图，二次函数y=ax^2+bx+c(,a<0b>0c>0)的图象经过点（1,2）且与x轴交点的横坐标

如图，二次函数y=ax^2+bx+c(,a<0b>0c>0)的图象经过点（1,2）且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，其中-1<x1,0,1<x2<2,下列结论①4a+2b+c<0②2a+b<0③b^2+8a>4ac④a<-1正确的有（ )给出证明过程谢谢

Answer 1

解：①4a+2b+c<0正确。因为1<x₂<2，y(x₂)=0，故y(2)=4a+2b+c<0...........(1)；
②2a+b<0正确。因为抛物线开口朝下，故a<0；又-1<x₁<0，1<x₂<2，故对称轴x=-b/ab必满足不
等式：0<-b/2a<1，用2a乘不等式两边，由于a<0，不等号要反向，于是得 2a<-b，即有2a+b<0；

③b²+8a>4ac正确。因为由图可见：ymax=(4ac-b²)/4a>2，又a<0，去分母，不等号要反向，故得4ac-b²<8a，即有b²+8a>4ac；
④a<-1正确。因为由图可见：f(-1)=a-b+c<0，故2a-2b+2c<0...........(2)；
(1)+(2)得6a+3c<0，即有2a+c<0；又1<y(0)=c<2，1+2a<2a+c<2+2a<0，2a<-2，故a<-1.

Answer 2

a+b+c=2
x1+x2=-b/a x1x2=c/a
-1<x1<0，1<x2<2
0<x1+x2<2，-2<x1x2<0
∴0<-b/a<2，-2<c/a<0，
又∵a<0，b>0，c>0
∴-2a>b>0，-2a>c>0
∴0<b+c<-4a
b+c=2-a
1。
b+c=2-a
4a+2b+c=4a+b+2-a=3a+b+2<3a-2a+2=a+2
∴4a+2b+c<0不正确
2。
b<-2a
2a+b<0正确
3。
b²+8a-4ac=b²+4a(2-c)=b²+4a(a+b)=b²+4ab+4a²=(b+2a)²>0
所以b²+8a>4ac正确
4。
2=a+b+c<-4a+a
2<-3a
a<-2/3
所以4不正确

Answer 3

正确的有（③,④ )