Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（2）设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BF=1时，求线段AP的长．

Answer 1

（2）首先通过作图易得∠DPE=（1/2）∠ACB（由OD=OE，∠DEP=90°等条件可求出），因为cos∠ACB=3/5，sin∠ACB=4/5，所以可以通过二倍角公式求出∠DPE的正弦和余弦，再在△AOD和△PDE中分别求出AD和DP，最终可以求出AP=AD+DP=(4/5)x+(12/5)x=(16/5)x．
（3）在直角△PBF中，易求出BP=2，所以AP=AB+BP=4+2=6．
由于个人水平有限，结果可能存在错误，所以答案仅供参考！不过思路应该是对的，希望你可以自己算一下。

Answer 2

1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；
（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴0A CA =OD CB =AD AB ，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∴OD=3 5 OA，AD=4 5 OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴AE AP =AD AE =DE EP ，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=8 5 OA，
∴AE AP =AD AE =4 5 OA 8 5 OA =1 2 ，
则y=16 5 x（0＜x≤25 8 ）；

（3）解：情况1：y=16 5 x，BP=4-AP=4-16 5 x，
∵△PBF∽△PED，
∴BF BP =ED EP ，
又∵△ADE∽△AEP，
∴ED EP =AE AP ，
∴BF BP =AE AP ，
∴1 4-16 5 x =8 5 x 16 5 x ，
解得：x=5 8 ，
∴AP=16 5 x=2．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间：
可以得CF=CE，CE=CF=BC-BF=3-1=2，
过点E作EG⊥BC，
则EG AB =CG BC =CE AC =2 5 ，
解得，EG=8 5 ，CG=6 5 ，
FG=FC-CG=2-6 5 =4 5 ，
PB：EG=FB：FG，
PB=8 5 ÷4 5 =2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6．

Answer 3

http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/a53451da-18c3-4124-b6f1-7e53314ccd1d