Question

求过两点M1（3，-2，1）和M2（-1，0，2）的直线方程

求过两点M1（3，-2，1）和M2（-1，0，2）的直线方程，求过三点M1(2,-1,4), M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面方程，并计算直线和平面的夹角。

Answer 1

如下：

（1）由于直线的方向向量为 v=M1M2=（-4，2，1）。

所以直线 M1M2 的方程为 (x-3)/(-4)=(y+2)/2=(z-1)/1 。

（2）M1M2=（-3，4，-6），M1M3=（-2，3，-1）。

因此平面法向量为 n=M1M2×M1M3=（14，9，-1）。

所以，平面M1M2M3 的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 ，化简得 14x+9y-z-15=0。

（3）因为 |cos<v，n>|=|v*n|/(|v|*|n|)=|(-56+18-1)|/(√21*√278)= 39/√5838 。

所以直线与平面所成角为 π/2-arccos(39/√5838) 。

（也可化简为 arcsin(√4317/√5838) ）。

简介

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行。

只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

Answer 2

（1）由于直线的方向向量为 v=M1M2=（-4，2，1），
所以直线 M1M2 的方程为 (x-3)/(-4)=(y+2)/2=(z-1)/1 。
（2）M1M2=（-3，4，-6），M1M3=（-2，3，-1），
因此平面法向量为 n=M1M2×M1M3=（14，9，-1），
所以，平面M1M2M3 的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 ，化简得 14x+9y-z-15=0 。
（3）因为 |cos<v，n>|=|v*n|/(|v|*|n|)=|(-56+18-1)|/(√21*√278)= 39/√5838 ，
所以直线与平面所成角为 π/2-arccos(39/√5838) 。
（也可化简为 arcsin(√4317/√5838) ）