Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（望有详解）

（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．做BD垂直y轴
则OB与y轴夹角为30°
则在△OBD中 OB=4 BD=2 OD=2√3
则点B坐标为(-2，-2√3)
（2）抛物线方程y=ax²+bx+c
已知点B(-2，-2√3) O（0,0） A(4，0)
代入方程解得
a=-√3/6
b=2√3/3
c=0
则抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
（3）若△POB为等腰三角形
则过P做OB的中垂线PE垂足为E
OB的直线方程为y=√3x 则垂直于OB直线斜率为k=-1/√3
设直线PE为 y=kx+m
已知斜率为k=-1/√3，过E点(-1，-√3) 【OB中点】
解得m=-4√3/3
直线PE y=- √3x/3-4√3/3
联立直线、抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
y=- √3x/3-4√3/3
的x²-6x-8=0 二元一次方程根 x={-b±√（b2－4ac）}/2a
X1=3+√17 X2=3-√17
有根即存在点P
代入X1，X2
解得Y1=-(7√3/3+√51/3 ) Y2=-(7√3/3-√51/3 )

点P坐标P1(3+√17,-7√3/3-√51/3 ) P2(3-√17,-7√3/3+√51/3)

Answer 2

（1）OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．做BD垂直y轴
则OB与y轴夹角为30°
则在△OBD中 OB=4 BD=2 OD=2√3
则点B坐标为(-2，-2√3)
（2）抛物线方程y=ax²+bx+c
已知点B(-2，-2√3) O（0,0） A(4，0)
代入方程解得
a=-√3/6
b=2√3/3
c=0
则抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
（3）若△POB为等腰三角形
则过P做OB的中垂线PE垂足为E
OB的直线方程为y=√3x 则垂直于OB直线斜率为k=-1/√3
设直线PE为 y=kx+m
已知斜率为k=-1/√3，过E点(-1，-√3) 【OB中点】
解得m=-4√3/3
直线PE y=- √3x/3-4√3/3
联立直线、抛物线方程y=（-√3/6）x²+（2√3/3）x
y=- √3x/3-4√3/3
的x²-6x-8=0 二元一次方程根 x={-b±√（b2－4ac）}/2a
X1=3+√17 X2=3-√17
有根即存在点P
代入X1，X2
解得Y1=-(7√3/3+√51/3 ) Y2=-(7√3/3-√51/3 )
点P坐标P1(3+√17,-7√3/3-√51/3 ) P2(3-√17,-7√3/3+√51/3)