Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是 BC 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB

上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

考点：
​
切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
几何综合题。
分析：
（1）根据当点P是弧BC的中点时，得出弧PBA=弧PCA，得出PA是○O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长．
解答：
解：（1）当点P是弧BC的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
又∵弧PB=弧PC，
∴弧PBA=弧PCA，
∴PA是○O的直径，
∵弧PB=弧PC，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．
（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理，得BE=BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=8，
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r2=62+（8﹣r）2，
解得r=25/4，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴6：DP=8;2×25/4，
解得：DP=75/8．

Answer 2

Answer 3

哇啊啊啊，这题害人不浅啊。。石景山区2012-2013学年第一学期期末考试试卷 初三数学 第23题就改了个问。。真懒啊。。
可怜的我们啊~~~~~~~~~~~~~~~~