Question

数学 函数的

设f(x)是定义在D上的函数。若存在区间[a,b]是D的子集，使函数f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称函数f(x)是k类函数。设函数f(x)=x^3+2x^2+x(x小于或等于0)是k类函数，则k的最小值是？？
我算出来是4/9， 但很复杂，讨论很多次，而且部分讨论没有结果。。。
求正解。。

Answer 1

取区间[a,b]，a<b≦0；
f'(x)=3x²+4x+1=3(x+2/3)²-1/3
当x≦0时，f'(x)≧1>0
f'(x)是恒正的，所以，f(x)在区间[a,b]上递增；
由题意知f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb]
则：f(a)=ka，f(b)=kb
可把a,b看做是方程：f(x)=kx的两个根，要求是：a<b≦0
即方程：x³+2x²+x=kx在区间(-∞,0]上至少有两个不等的实数根；
即：x³+2x²+(1-k)x=0
x(x²+2x+1-k)=0
显然有根x1=0，
所以，方程：x²+2x+1-k=0至少有一个负根
用函数思想：k=x²+2x+1在x<0时有解
变为值域问题，g(x)=x²+2x+1，当x<0时，g(x)≧0
所以，k≧0
即k的最小值为0

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

导数。。

Answer 2

f(x)如图。

a = -1/3 b=0 k=2/27可以。

a为f(x)=-2/27的另一个根也可以，这个K更小一些。

追问

怎么来的。。

 

追答

我写错了，应该是f(x)=-4/27。我是猜得，做还是像你这样做吧，也没什么其它方法。
你做的应该是对的，分类讨论对的。具体计算我没算。