数学 函数的

设f(x)是定义在D上的函数。若存在区间[a,b]是D的子集,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称函数f(x)是k类函数。设函数f(x)=x^3+2x... 设f(x)是定义在D上的函数。若存在区间[a,b]是D的子集,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb],则称函数f(x)是k类函数。设函数f(x)=x^3+2x^2+x(x小于或等于0)是k类函数,则k的最小值是??
我算出来是4/9, 但很复杂,讨论很多次,而且部分讨论没有结果。。。
求正解。。
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anranlethe
2012-12-14 · TA获得超过8.6万个赞
知道大有可为答主
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取区间[a,b],a<b≦0;
f'(x)=3x²+4x+1=3(x+2/3)²-1/3
当x≦0时,f'(x)≧1>0
f'(x)是恒正的,所以,f(x)在区间[a,b]上递增;
由题意知f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb]
则:f(a)=ka,f(b)=kb
可把a,b看做是方程:f(x)=kx的两个根,要求是:a<b≦0
即方程:x³+2x²+x=kx在区间(-∞,0]上至少有两个不等的实数根;
即:x³+2x²+(1-k)x=0
x(x²+2x+1-k)=0
显然有根x1=0,
所以,方程:x²+2x+1-k=0至少有一个负根
用函数思想:k=x²+2x+1在x<0时有解
变为值域问题,g(x)=x²+2x+1,当x<0时,g(x)≧0
所以,k≧0
即k的最小值为0

祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
追问
导数。。
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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dbcndbcn
2012-12-14
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f(x)如图。

a = -1/3 b=0 k=2/27可以。

a为f(x)=-2/27的另一个根也可以,这个K更小一些。


追问

怎么来的。。

 

追答
我写错了,应该是f(x)=-4/27。我是猜得,做还是像你这样做吧,也没什么其它方法。
你做的应该是对的,分类讨论对的。具体计算我没算。
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