Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（—1，0）、（0

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（—1，0）、（0，3/2）.
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值。
(3)若点M是抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，是否存在这样的点M，使四边形MNOC为平行四边形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1)根据题义可列方程组
b = -2a
a + 2a + c = 0
c = 1
解之得 ，a = -1/3 b = 2/3
函数解析式为 y = -x^2/3 + 2X/3 +1
2)当 x = 1 时，P 点的纵坐标值最大 y(P) = 4/3 ，x轴上两个交点分别是A（-1，0）B（3，0）
此时三角形ABP 的面积 S = 4 * 4/3 / 2 = 8/3
3）使△ABQ的面积与△ABP的面积相等，三角形的底边不变，则Q点距 x 轴的距离应该与P点到x轴的距离相同 ，也等于 4/3，但因为这个点处于x轴下方，所以y(Q)= -4/3
-x^2/3 + 2X/3 +1 = -4/3
解之得， x1 = 1-2√2 x2 = 1+2√2
所以，符合条件的点有两个，（1-2√2 ，-4/3）（1+2√2，-4/3）

Answer 2

1．因为对称轴为直线X=1，所以可以得到与X轴的另一个交点为（3，0），设解析式为y=a(x-3)(x+1)，把x=0,y=1.5代入可得解析式。解得y＝－0．5（x－3）（x＋1）
2．△ABP＝0．5AB＊Yp，所以当P的纵坐标最大时面积有最大值，又因为当X＝1时y有最大值，所以把x＝1代入解析式，解得最大面积为2
3．易得P的纵坐标为－3，所以把x＝－3代入解析式可得两个解，有没有第三个解就不知道了。