Question

一道高中数学题 ：请时间的朋友帮忙看看，要过程，谢谢！急急急急急急！！！

利用定义判断f(x)=x^2/(x+2)在区间(0,+∞)上的单调性
定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y). 求满足不等式f(ax^2+2)+f[-2a-1)x]＜0的x的取值范围。

Answer 1

设x1，x2，且x1>x2（x1，x2>0）
x1，x2分别带入f(x)=x^2/(x+2)中
f（x1）-f（x2）>0
所以当增
第二问：
R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
令x=y=0则f(x+y)=f(x)+f(y). =f(0)=f(0)+f(0). =2f（0）所以f（0）=0
令x=-y则f(x+y)=f(x)+f(y). =f(0)=f(x)+f(-x).=0所以f（x）是一个关于原点对称的单增奇函数
f(ax^2+2)+f[-2a-1)x]＜0
即（ax^2+2）+【（-2a-1)x】<0
即ax^2-（2a+1）x+2<0
a=0时x>2
然后判断Δ=（2a+1）^2-8a=4a（a-1）
a<0时，Δ=（2a+1）^2-8a=4a（a-1）>0
x<[2a-√（4a（a-1））]/2a或x>[2a+√（4a（a-1））]/2a
0<a<1时Δ=（2a+1）^2-8a=4a（a-1）<0与x轴无焦点无解
a>1时Δ=（2a+1）^2-8a=4a（a-1）>0
[2a-√（4a（a-1））]/2a<x<[2a+√（4a（a-1））]/2a
a=1时1<x<2
全的不能再全了，教科书式的答案！
望采纳！

Answer 2

f(x)=x/(x+2)=1-2/(x+2)
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=1-2/(x1+2)-1+2/(x2+2)
=2/(x2+2)-2/(x1+2)
=2(x1+2-x2-2)/[(x1+2)(x2+2)]
=2(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]
因为0<x1<x2，所以x1-x2<0，x1+2>0，x2+2>0
所以(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]<0，即f(x1)-f(x2)<0
所以f(x1)<f(x2)，而x1<x2，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增

Answer 3

f(x)=x^2/(x+2)
=x-2+4/(x+2)
=x+2+4/(x+2)-4

令g(x)=x+4/x
任意x1,x2∈(2,+∞),x1>x2

f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)(1-4/x1x2)
因为x1*x2>4 1/x1x2<1
所以f(x1)-f(x2)>0
在区间[2,+∞)内单调递增

所以 x+2+4/(x+2) 在区间(0,+∞)内单调递增
f(x)在区间(0,+∞)内单调递增

Answer 4

解：令0<x1<x2
　∴f(x1)-f(x2)
　　=[x1²/(x1+2)]-[x2²/(x2+2)]
　　=[x1x2(x1-x2)]/[(x1+2)(x2+2)]
　∵0<x1<x2
　∴x1x2>0
　　x1-x2<0
　　(x1+2)(x2+2)>0
　∴f(x1)-f(x2)<0
　　即f(x1)<f(x2)
　∴f(x)=x²/(x+2)在区间(0,+∞)上的单调递增

Answer 5

∵x∈(0,+∞)∴x+2＞2
∴f(x)在（0，+∞）有意义
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
　　=[x1²/(x1+2)]-[x2²/(x2+2)]
　　=[x1x2(x1-x2)]/[(x1+2)(x2+2)]
　∵0<x1<x2
　∴x1x2>0
　　x1-x2<0
　　(x1+2)(x2+2)>0
　∴f(x1)-f(x2)<0
　　即f(x1)<f(x2)
　∴f(x)=x²/(x+2)在区间(0,+∞)上的单调递增