Question

数学题 高三双曲线

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,右焦点为F(2,0),点P为双曲线上一点，向量PF*向量A1A2=0, 向量PA1*向量PA2=4/3. <1>求双曲线的方程；<2>若双曲线上有两个不同的点M.N，点E(0,-1)，当向量MN=f(3,1)，且|向量EM|=|向量EN|时，求三角形MON的面积，O为原点。

Answer 1

解：1）因为 PF*A1A2=0；所以PF垂直于x轴，设P在x轴上方

易得，A1（-a，0）；A2（a，0）；F（c，0）；P（c，b^2/a)其中c=2；
PA1*PA2=c^2-a^2+b^4/a^2=4/3;

解得 a^2=3,b^2=1;
方程为 x^2/3-y^2=1;
2)因为MN与向量（3,1)平行

可设直线MN:x-3y+m=0; 与双曲线联立得：
6y^2-6my+m^2-3=0
两根 y1+y2=m,
y1*y2=(m^2-3)/6;
设MN中点为Q(x0,y0);
有 y0=m/2;带入直线方程得：x0=m/2;

因为|EN|=|EM|,所以 EQ*（3，1）=0 （向量垂直）
解得m=-1/2;
MN：x-3y-1/2=0;

O到直线的距离为d=√10/20;
MN之间的距离由弦长公式|MN|=(5√10)/(2√3);

求得三角形MON面积为（5√3)/24;
希望没有算错

Answer 2

厉害！