Question

设V是复数域C上的n维线性空间，φ是V的线性变换，求证：

存在φ-不变子空间V0，V1，…Vn,使得 V0⊂V1⊂…⊂Vn且dimVi=i,1≦i≦n

Answer 1

应用一个小引理就好：
如果一个线性变换A能在基{a1,...,am,...,an}下写成

(A11 A12
0 A22)
A11是m*m的矩阵块，A22,(n-m)*(n-m).
那么有，W=V(a1,...,am)是A的不变子空间。

证明是挺简单，
A(ai)必然是a1-am的线性组合，a(m+1)-an的系数是0；
故，如果a是a1,...,am的线性组合，则A(a)是a1,...,am的线性组合，与a(m+1)-an无关。
所以必然是不变子空间。

用这个引理，+任意复方阵可以上三角化，
得到结论，
任意复线性变换，存在一组基a1-an，在这组基下的矩阵是上三角形。
这样，加引理得到，
空间Vi=V(a1,...,ai)是i维不变子空间。

大姐，您大人大量，给个采纳吧！这可是我的首秀啊！

追问

哈哈…看懂了，多谢啦~