Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正

已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax2+bx+8，0=36a-6b+80=4a+2b+8解得a=-23b=-83
∴所求二次函数的表达式为y=-23x2-83x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴EFAC=BEAB．即EF10=8-m8．∴EF=40-5m4．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=45．
∴FGEF=45．∴FG=45•40-5m4=8-m．
∴S=S△BCE-S△BFE=12（8-m）×8-12（8-m）（8-m）=12（8-m）
（8-8+m）=12（8-m）m=-12m2+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=-12m2+4m=-12（m-4）2+8，且-12＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）

Answer 2

设A,B,C三点的坐标分别是（xA，0），（xB,0），（0，yC），由题意可知线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，所以XB=2，XC=8，将三点代入原函数，得出a=-2/3，b=-8/3，c=8，所以二次函数表达式为y=(-2/3)x²+（-8/3）x+8