Question

已知直线l为椭圆x²-4y²=4的切线,并与坐标轴交于A,B两点,求AB的最小值？

已知直线l为椭圆x²-4y²=4的切线,并与坐标轴交于A,B两点,求AB的最小值？

Answer 1

那个方程表示的是双曲线，不是椭圆。

设切点为 （x0，y0），则 L 的方程为 x0*x-4y0*y=4 ，
令 x=0 解得 B（0，-1/y0），令 y=0 得 A（4/x0，0），
所以 |AB|^2=1/y0^2+16/x0^2=1/y0^2+16/(4+4y0^2) ，
设 t=y0^2>=0 ，则 |AB|^2=1/t+16/(4+4t)=(5t+1)/[t(t+1)] ，在 t∈[0，+∞）上为减函数，
当 t→+∞ 时，|AB|^2→0 ，因此 |AB| 无最小值。

（附：如果是椭圆 x^2+4y^2=4 ，则同理可得 |AB|^2=1/t+4/(1-t)=(3t+1)/[t(1-t)] ，
由于 0<=t<1 ，因此当 t=1/3 时 |AB|^2 最小为 9 ，则 |AB| 最小值为 3）。

追问

L 的方程为 x0*x-4y0*y=4 ，只能说切点轨迹为 x0*x-4y0*y=4 ，但不能说 L 的方程为 x0*x-4y0*y=4 吧

追答

这里 x0、y0 是未知的常数，x、y 是未知数，因此 x0*x-4y0*y=4 是切线 L 的方程 。