Question

定积分换元法∫ [2t/（1+t）]dt=？ 要步骤

Answer 1

这是不定积分凑微分∫{(2t 2-2)/（1 t）}dt=∫[2-2/（1 t）]dt=2t-2ln|1 t|。

∫ [2t/（1+t）]dt

= ∫ [2(1+t) -2]/(1+t) dt

=∫ (2- 2/(1+t) ) dt

= 2t- ln|1+t|+C

定积分

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫ [2t/（1+t）]dt
= ∫ [2(1+t) -2]/(1+t) dt
=∫ (2- 2/(1+t) ) dt
= 2t- ln|1+t|+C

追问

为什么不是2t- 2ln|1+t|+C。。。

追答

∫ [2t/（1+t）]dt
= ∫ [2(1+t) -2]/(1+t) dt
=∫ (2- 2/(1+t) ) dt
= 2t- 2ln|1+t|+C

追问

∫（2）（1） [2t/（1+t）]dt 是不是应该等于2-2ln（3/2）

笔记上记的是2-ln（3/2） 但是解的时候得出的是2-2ln（3/2）

追答

[ 2t- 2ln|1+t| ](1->2)
= 4-2ln3 -(2-2ln2)
=2-2ln(3/2)

Answer 3

这是不定积分凑微分∫{(2t 2-2)/（1 t）}dt=∫[2-2/（1 t）]dt=2t-2ln|1 t|

追问

∫（2）（1）的情况下 结果应该是2-ln（3/2）吧

追答

没看懂，可以再详细说下。不过我的答案的加号怎么不显示，还有忘了加常数c了