Question

已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+2)=1/f(x),若x∈[2,3]时,f(x)=x+1

(1)求证：f(x)为周期函数；
(2)求f(5.5)的值

(3)画出函数y=-f(x)在[-3,3]上的图像

Answer 1

　（1）周期为4。
　　 f(x+4)=f[(x+2)+2]
　　 =1/f(x+2)
　　 =1/(1/f(x))
　　 =f(x)
　　(2)
　　 f(5.5)=f(-0.5+2+4)=f(-0.5+2)=1/f（-0.5）

　　 因为f(x)为偶函数，所以f(-0.5)=f(0.5)

　　 又因f(0.5+2)=1/f(0.5) 从而 f(0.5)=1/f(2.5)=1/3.5

　　 于是f(5.5)=1/f(-0.5)=1/f(0.5)=3.5
　　(3)
　　 i) 当 0<=x<=1 时
　　 x+2 属于[2.3]
　　 f(x+2)=(x+2)+1=1/f(x)
　　 => f(x)=1/[(x+2)+1]=1/(x+3)

　　ii)当 1<x<=2 时
　　 2-x∈ [0,1]
　　 f(2-x)=1/[(2-x)+3]=1/(5-x)
　　 有f(2-x)=f(-x+2)=1/f(-x)=1/fx)
　　 => f(x)=1/f(2-x)=1/[1/(5-x)]=5-x

　　 iii)当2<x<=3 时
　　 f(x)=x+1
又偶函数对称性可得[-3,0]的分段函数

由函数易做图。

Answer 2

1
f(x+4)=1/f(x+2)=f(x)
∴f(x)为周期函数
2
f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)
∵f(x)为偶函数
f(-2.5)=f(2.5)=3.5=f(5.5)
3
f(x)=x+1 x∈[2,3]
根据T可知
f(x)=x+1 x∈[-2,-1]
∵f(x)为偶函数
f(x)=-x+1 x∈[1,2]
f(x)=-x+1 x∈[-3,2]
根据f(x+2)=1/f(x)
f(x)=1/(-x+1) x∈[-1,0] 由∈[1,2]推出
f(x)=1/(x+1) x∈[0,1] 由∈[-2,-1]推出

Answer 3

（1）.因为 f(x+2)=1/f(x)所以有 f(x)=1/f(x+2) 推出 f(x+2)=1/f(x+2+2)=1/f(x+4) 即 f(x)=f(x+4)
故为周期函数，周期为4
（2）该函数的周期为4，所以f(5.5)=f(5.5-4)=f(1.5)=f(1.5-4)=f(-2.5)
因为他是偶函数，
所以f（-2.5）=f（2,5）=2.5+1=3.5
图自己看着周期就能画出来了

Answer 4

（1）证明：因为f(x+4)=f[x+2)+2]=1/f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数。
(2)f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)=f(-1.5)=f(4-1.5)=f(2.5)=2.5+1=3.5
(3)根据周期性、偶函数和题设条件，可以做出图像。

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